EP flux theory

[Alessandro 81]

Il celebre articolo del 1960 di Eliassen e Palm (di seguito EP) ha registrato diverse scoperte brillanti nella teoria delle onde lineari su flussi a taglio per sistemi di fluidi rotanti e stratificati. Queste scoperte hanno aperto una nuova prospettiva sulla dinamica delle onde lineari nell’atmosfera e sulla nascente teoria delle interazioni non lineari tra le onde e il flusso medio. Probabilmente, la scoperta più importante è stata quella del loro vettore di flusso di attività ondosa eponimo nel piano meridiano e delle condizioni sotto le quali questo importante flusso era non-divergente.

In questo breve articolo ripercorreremo alcuni dei passi di EP ed esploreremo come le loro scoperte rivoluzionarie sono state comprese alla luce delle teorie successive. Naturalmente, un’impresa come questa rischia di apparire presuntuosa, se non altro per i 50 anni di retrospettiva, ma non è questa l’intenzione: è stata la potenza delle loro scoperte originali ad ispirare cinque decenni di ulteriori ricerche, con nuovi risultati che emergono ancora oggi.

A beautiful flux

Il documento di Eliassen e Palm (EP) si concentra su due insiemi di equazioni per le onde stazionarie lineari. Primo, un modello bidimensionale verticale non rotante con un flusso zonale di base U(z), e secondo, un modello tridimensionale rotante con un flusso zonale di base U(y, z) e un corrispondente campo di galleggiabilità di base B(y, z) in equilibrio del vento termico.

Le onde stazionarie, in questo contesto, significano che le onde sono indipendenti dal tempo nel riferimento scelto, ovvero la frequenza assoluta delle onde è zero. EP si è concentrato sulla dinamica dell’energia delle onde, che in un contesto di Boussinesq ha una densità semplice. Hanno scoperto che l’energia delle onde non è conservata a meno che il flusso U non sia costante. Quando viene formulato il bilancio dell’energia delle onde, ci sono termini di flusso così come termini di sorgente o pozzo legati al taglio medio.

EP ha derivato un campo vettoriale di flusso non divergente F nel piano meridionale, ora noto come flusso Eliassen-Palm. Questo flusso ha una proprietà non divergente fino al secondo ordine in ampiezza dell’onda sotto le ipotesi assunte di onde stazionarie senza dissipazione e senza strati critici. La generalità del risultato del flusso EP è notevole: vale per qualsiasi f e per qualsiasi flusso zonale U(y, z) e corrispondenti campi di galleggiabilità B(y, z) in equilibrio del vento termico.

Con il tempo, il flusso F è stato riconosciuto come uno strumento diagnostico eccellente per analizzare la propagazione delle onde nel piano meridionale. Ma il flusso EP si è anche dimostrato estremamente importante per la teoria delle interazioni non lineari onda-flusso medio in un fluido rotante stratificato. Questi aspetti di F sono stati compresi pienamente solo molto tempo dopo la pubblicazione del loro documento, fondamentalmente una volta che è diventato chiaro che F aveva poco a che fare con il flusso dell’energia delle onde, ma era invece uguale a (meno) il flusso del pseudomomentum dell’onda. Il testo poi prosegue esplorando ulteriormente le scoperte di EP sul bilancio energetico e la ricerca successiva che hanno ispirato.

Il “flusso del pseudomomentum dell’onda” è un concetto importante nella dinamica dei fluidi, in particolare nello studio delle onde in un fluido rotante e stratificato come l’atmosfera o l’oceano.

Per capire cosa sia il pseudomomentum dell’onda, è utile considerare che, in fisica, il momentum (o quantità di moto) è una misura del movimento di un oggetto. Il momentum è una quantità conservata in molti sistemi fisici, il che significa che, in assenza di forze esterne, il momentum totale di un sistema rimane costante nel tempo.

Tuttavia, le onde in un fluido possono comportarsi in modi che non si adattano esattamente a questa semplice definizione di momentum. Per questo motivo, viene introdotto il concetto di “pseudomomentum”. In sostanza, il pseudomomentum dell’onda è una quantità che assomiglia al momentum, ma è specifico per il comportamento delle onde in un fluido.

Il “flusso del pseudomomentum dell’onda” si riferisce poi al modo in cui questa quantità, che rappresenta il movimento e l’interazione delle onde, si muove o si propaga attraverso il fluido. Questo concetto è particolarmente utile per capire come le onde interagiscono con il flusso medio in un fluido rotante stratificato, come l’atmosfera terrestre, e come queste interazioni possono influenzare il movimento complessivo del fluido, ad esempio influenzando i modelli meteorologici o climatici.

 

[Alessandro 81]

In search of lost wave energy

Il testo discute dei risultati ottenuti da Eliassen e Palm (EP) nello studio delle onde stazionarie lineari in un modello bidimensionale verticale non rotante. In questo modello, il campo di velocità si trova completamente nel piano xz e non dipende dalla variabile y. EP considera flussi a taglio U(z) come stati stazionari semplici del sistema e analizza le onde stazionarie lineari rispetto a tali flussi, assumendo che U(z) sia maggiore di zero, il che esclude la presenza di strati critici.

EP ha derivato due risultati importanti riguardanti il flusso di quantità di moto verticale medio e il flusso di energia delle onde verticali medio. Il primo risultato indica che, sotto le ipotesi fatte, il flusso medio non accelera da nessuna parte. Questa condizione è stata in seguito conosciuta come “condizione di non accelerazione”. Il secondo risultato mostra che, al contrario, il flusso di energia delle onde verticali non è costante in z, ma varia in proporzione con il flusso medio U(z). Ad esempio, per un’onda di Lee in propagazione verso l’alto con un flusso di quantità di moto negativo, ciò significa che l’energia dell’onda viene in qualche modo creata se U(z) è positivo. Poiché l’energia totale è conservata, questo guadagno netto di energia dell’onda deve essere compensato da una corrispondente perdita netta di energia del flusso medio. Questo è un risultato sorprendente e misterioso, dato che il primo risultato mostrava che il flusso medio non cambia da nessuna parte.

Il puzzle del bilancio energetico può essere risolto considerando l’evoluzione temporale del campo delle onde. In questo scenario, i campi delle onde lineari possono dipendere dal tempo e si può definire un pseudomomentum euleriano del campo delle onde che è conservato e ha un flusso verticale uguale al flusso di quantità di moto medio. Con le onde piane, si trova che il pseudomomentum è proporzionale all’energia delle onde divisa per una frequenza intrinseca. Per un’onda di Lee piana con frequenza assoluta zero, questo significa che il pseudomomentum è inversamente proporzionale all’energia dell’onda divisa per U.

In sintesi, il pseudomomentum ha una relazione diretta con lo spostamento verticale delle particelle nell’onda. Questo chiarisce che il significato essenziale del pseudomomentum è un integrale della vorticità sull’area tra una linea fissa di costante z e una linea materiale il cui punto di riposo indisturbato è a z. Da questo segue che il flusso medio zonale euleriano che si evolve nel tempo soddisfa una certa relazione con il pseudomomentum e pertanto è influenzato da esso fino al secondo ordine in ampiezza dell’onda.

 

[Alessandro 81]

The trouble with rotation

In questa sezione si discute dell’impatto della rotazione sui flussi di fluidi stratificati. Inizialmente, uno studente di fluidodinamica potrebbe pensare che comprendere gli effetti della rotazione sia più semplice rispetto a quelli della stratificazione. Tuttavia, si scopre presto che la rotazione cambia radicalmente il comportamento dei fluidi, portando a nuovi effetti che possono essere altrettanto sorprendenti quanto quelli legati alla stratificazione.

La rotazione influenza significativamente sia il flusso di Eliassen-Palm (EP) sia la definizione di pseudomomentum, e modifica il modo in cui il flusso medio risponde alle onde. Per flussi di base deboli, nel contesto dei numeri di Rossby e Richardson, il flusso EP si differenzia dai più familiari stress di Reynolds principalmente per un termine particolare associato al parametro di Coriolis f nella componente verticale del flusso.

Un’interpretazione fisica di questo fenomeno è stata fornita da Bretherton, che ha utilizzato il concetto di spostamento verticale delle particelle e l’equazione del momento zonale lineare in un modello bidimensionale verticale. Bretherton ha mostrato che, per onde stazionarie, la componente verticale del flusso EP misura il flusso Lagrangiano del momento orizzontale attraverso una superficie materiale ondulata. Questo è determinato dalla correlazione tra la pressione di perturbazione e la pendenza locale della superficie.

Questo risultato chiarisce che è il flusso EP, e non lo stress di Reynolds, a misurare correttamente la forza di traino delle onde su una montagna in un sistema rotante. Questo è evidente perché, nella teoria lineare, l’altezza della montagna è uguale allo spostamento verticale alla base della montagna.

La risoluzione del paradosso su come il flusso di momento Euleriano e il suo corrispettivo Lagrangiano possano sistematicamente differire si basa sulle forze di Coriolis zonali esercitate sul fluido contenuto tra la superficie materiale ondulata e la sua posizione di riposo piatta. Se lo spostamento verticale è correlato con la perturbazione della velocità meridionale, allora esiste una forza netta di Coriolis zonale al secondo ordine nell’ampiezza dell’onda, che compensa la discrepanza tra i flussi di momento Euleriano e Lagrangiano. Questa è la spiegazione fisica del termine peculiare associato a f nel flusso EP, che cattura questa correlazione.

Il testo tratta poi della definizione e del lavoro su un concetto noto come “pseudomomentum rotante”. Questo concetto è complesso e richiede di considerare gli spostamenti delle particelle in tutte le direzioni in un sistema rotante. Per formulare questa generalizzazione tridimensionale rotante dell’idea di pseudomomentum, sono stati necessari calcoli dettagliati, ma il testo non fornisce l’espressione esatta a causa della sua lunghezza e complessità.

Il focus principale è su come la teoria del flusso di Eliassen-Palm (EP) e la teoria del pseudomomentum si collegano alla teoria Lagrangiana, che considera il movimento delle particelle all’interno del flusso. In particolare, c’è stato un interesse nel collegare il flusso EP al flusso di quantità di moto medio zonale in termini Lagrangiani. Questo collegamento è importante perché consente di definire il vettore di pseudomomentum e il suo tensor di flusso associato in modo più generale e non lineare, semplificando le definizioni euleriane di piccola ampiezza note fino a quel momento.

Tuttavia, la semplicità della teoria Lagrangiana comporta la complessità di dover trattare con quantità come gli spostamenti delle particelle e la velocità media Lagrangiana, che non sono facilmente osservabili o simulabili numericamente. Nella pratica, la scienza atmosferica ha quindi adottato un approccio combinato, utilizzando sia il flusso EP sia le equazioni medie euleriane trasformate sviluppate alla fine degli anni ’70. Questo approccio non richiede la conoscenza esplicita degli spostamenti delle particelle.

Fuori dalla teoria media Lagrangiana, l’espressione più chiara del collegamento tra il flusso EP e la forzatura del flusso medio zonale si trova nella teoria quasi-geostrofica. Qui, si mostra come la divergenza del flusso EP possa essere vista come una forza media zonale efficace sul flusso medio zonale. In questa teoria, la divergenza del flusso di vorticità potenziale meridionale ha un impatto quantificabile sull’evoluzione della vorticità potenziale media, e questa divergenza è equivalente all’impatto di una forza media zonale efficace. Questo rende chiaro che la divergenza del flusso EP può essere considerata come una forza media zonale efficace esercitata sul flusso medio zonale, almeno nella teoria quasi-geostrofica. Questa è una dichiarazione chiara e importante che può essere difficile da trovare in altre situazioni.

Pushing ahead, and into the sea

Il documento di Eliassen e Palm (EP) ha ispirato una vasta gamma di ricerche nel campo della dinamica dei fluidi, che hanno ampliato e superato il quadro originale della loro teoria. Ad esempio, più di 25 anni dopo la pubblicazione del loro documento, è stato sviluppato un metodo molto diverso per trovare misure di attività delle onde conservate e il loro flusso. Questo metodo si basava sulla meccanica dei fluidi Hamiltoniana e sfruttava accuratamente le simmetrie del flusso di base. A differenza delle teorie precedenti, questo nuovo approccio usava solo variabili di flusso Euleriane e poteva essere facilmente generalizzato per gestire disturbi di ampiezza finita, una caratteristica precedentemente raggiunta solo dalle teorie Lagrangiane.

Le applicazioni di queste teorie Hamiltoniane di ampiezza finita spaziavano dalla diagnostica delle onde di ampiezza finita fino alle applicazioni nella stabilità non lineare. Queste teorie si concentravano principalmente sulla dinamica delle perturbazioni e non fornivano necessariamente la stessa quantità di informazioni sulle condizioni di non accelerazione del flusso medio o su altri aspetti della dinamica del flusso medio. Tuttavia, recentemente è stata perseguita una nuova direzione per le misure di attività delle onde di ampiezza finita che si basa estensioni degli argomenti della vorticità, permettendo un’analisi più dettagliata sia delle onde che del flusso medio.

Inoltre, il flusso EP e le idee associate hanno trovato applicazione anche in oceanografia, il che non è così scontato come potrebbe sembrare. Molta della teoria si basa sull’averaging zonale intorno ai cerchi di latitudine, un approccio che incontra ostacoli in molte parti dell’oceano a causa della presenza dei continenti. Nonostante ciò, la formulazione media euleriana trasformata e altre tecniche sono ora comunemente utilizzate in entrambi i contesti, atmosferico e marino. Anche l’oceanografia ha prodotto nuove idee teoriche, come l’estensione del concetto di dinamica dei fluidi media per spessore, un approccio che in ambito atmosferico era stato esplorato nel contesto dei flussi EP e dell’averaging lungo superfici di entropia costante.

In sintesi, le idee presentate nel documento di EP sono ancora molto vive e attive nel campo della ricerca, e ciò rappresenta sicuramente un motivo di celebrazione.

https://cims.nyu.edu/~obuhler/Oliver_Buhler/Publications_files/EPFluxThyEJFM14.pdf

 

[Alessandro 81]

Ho evitato di inserire le equazioni presenti nel documento originale perchè troppo tecniche. Chiunque le voglia consultare , ho lasciato il link dell articolo.